健康保険被扶養者（異動）届の他は？

国内に居住する20歳以上60歳未満の者は、国民年金の被保険者として次のいずれかに該当することになります。

　第1号：第2号および第3号のいずれにも該当しない者
　第2号：厚生年金保険や共済などの被保険者あるいは加入者
　第3号：第2号の被扶養配偶者

離職したということは、第2号ではなくなったということになります。
子が父（あるいは母）の健康保険の被扶養者になったということは、子には配偶者がいないと考えられますから、第3号には該当しない筈です。
となれば、第1号ということになりますから、第2号から第1号への被保険者種別変更届を市区町村へ提出します。

第1号は保険料を支払わなければなりません。
保険料の支払義務は、1義的には被保険者にあります。被保険者が納付できないあるいは納付しない場合は、世帯主が連帯して納付義務を負います。

国民年金保険料の納付が経済的に負担になる場合は、免除や納付制度が利用できます。
http://www.nenkin.go.jp/n/www/service/detail.jsp?id=3770

該当される方が30歳未満の場合は若年者納付猶予制度をご利用することができます。
この制度ではご本人と配偶者の所得で審査され、世帯主の所得は審査対象から除かれます。ただし納付猶予期間は後日追納されませんと年金額には反映しません。

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