派遣の傷病手当金について

こんにちは。
ハケンポについては詳しくないのですが、まだ回答がないようなので、私のわかる範囲でお答えします。

① １０月分を１１月２０頃、派遣会社に傷病手当金の申請を提出しました。
会社の締め日が、月２回（１５日と末）なのですが、この場合、末締めで会社から更にハケンポへ書類提出となるのでしょうか？

会社はこの間の出勤状況と給与について証明し、ハケンポに書類を提出します。
おっしゃる通り、10月末締めで書類を提出しているかと思います。
書類を提出する際には出勤簿と賃金台帳の写しを添付するので、締めたらすぐ書類を出せるというものではなく、給与が計算され、賃金台帳が作成されて初めて出せることになります。
なので締日から提出まで、少しタイムラグがあると思います。

② 傷病手当金が入金になる前（またはならない時）、事前に連絡はありますか？

あります。
「傷病手当金支給（または不支給）決定通知書」という通知が郵送されてきます。
支給される場合、金額が記載されています。

③ 審査中などに、本人（私）へ連絡が来る事はありますか？

これはすみません、わかりません。
普通はないと思いますが、ご本人記載欄で不明点が有る場合は確認の連絡があるかもしれません。

④ １０月分が入金となった場合、１１月分（２回目）もしたいのですが、
これは矢張り、１０月分（１回目）が入金したら、若しくは何等かの連絡があるとして入金確定等が分かってから、書類を記入、提出する方が良い、、、ですよね？
（ １回目が分からないのに、２回目を出すのはマズイですよね ）

続けて申請しても別にマズくはないと思いますよ。
万一不支給だったとき、2回目の傷病手当金の書類を作成する労力、医師に証明をもらう費用が無駄になるのが嫌だ、ということであれば、1回目決定後でもいいと思いますが。

⑤ また、もし退職後も申請する様になった場合、用紙は今までのもので大丈夫でしょうか？
健康保険は任意継続し、
会社記入欄を空欄のまま、
自分で直接ハケンポへ郵送という形で大丈夫でしょうか？

用紙はこれまでのものと同じで大丈夫です。
傷病手当金の受給と任意継続は無関係なので、任意継続は必須ではありません。
ただ、ハケンポのHPを見ると傷病手当金の手続きの説明で＜任意継続の方の申請書送付先＞とありますので、正確な情報はハケンポにお問い合わせいただければと思います。
「会社記入欄を空欄のまま、自分で直接ハケンポへ郵送」というのはその通りです。


ハケンポのHPで、担当課の連絡先が載っていました。
http://www.haken-kenpo.com/member/application/rest_b.html

ここに直接電話してみるのが一番早く、確実な気がします。

どうぞお体お大事になさってください。

猫日和様

有難うございます。
大変参考になりました。

２回目も書き始めてみたいと思います。
お金の事で、休んでいて貰う事にどうも後ろめたさがあって、小さな疑問も積極的に聞けない自分がいました。

ハケンポに連絡して、色々聞いてみたいと思います。

有難うございました。