健康保険・雇用保険の加入について

社会保険（健康保険、厚生年金）、雇用保険は、本人の希望で加入させたり、加入させなかったりできる選択制度ではありません。
また、会社の判断で手続きしたりしなかったり出来る物でもありません。
法律で定められていますので、その基準に該当するかどうかのみで判断し、正しく手続きをしましょう。

健康保険、厚生年金の適用除外者は限定列挙されています。
①船員保険の被保険者・・・船員保険の健康保険を使うため

②日々雇い入れられる者（１か月を超え、引き続き使用されるに至った場合は、引き続き使用されるに至った日から被保険者となる）

③２か月以内の期間を定めて使用される者（所定の期間を超え、引き続き使用されるに至った場合は、引き続き使用されるに至った日から被保険者となる）
④事業所で所在地が一定しないものに使用される者
⑤季節的業務に使用されるもの（継続して４か月を超えて使用される場合は、当初から被保険者となる）
⑥臨時的事業の事業所に使用される者（継続して６か月を超えて使用される場合は、当初から被保険者となる）
⑦国民健康保険組合の事業所に使用される者（国保組合の被保険者となるため）
⑧後期高齢医療の被保険者等（後期高齢医療の被保険者となるため）
⑨厚生労働大臣、健康保険組合、共済組合の承認を受けた者（組合保険、共済保険の被保険者となるため）

よって、１か月の有期契約であれば、②に該当すると思われます。
この１か月は勤務日数ではなく、暦日で判断します。
そのため、所定の期間（当初の１か月）を超えて引き続き使用する場合は、１か月を超えた日から被保険者となります。そのほかの労働条件も合わせて確認してください。

雇用保険についても、適用除外者が列挙されています。
①１週間の所定労働時間が２０時間未満である者
②同一の事業主の適用事業に継続して３１日以上雇用されることが見込まれない者（前２か月の各月において１８日以上同一の事業主の適用事業に雇用された者は被保険者となります）
③季節的に雇用される者であって、次のいずれかに該当するもの
③-1　４か月以内の期間を定めて雇用される者
③-2　１週間の所定労働時間が２０時間以上３０時間未満であるもの
③-1.2に該当する場合は、短期雇用特例被保険者に該当します。
～省略～

週２０時間以上の勤務ですが、雇用期間が３１日以上雇用されることが見込まれないのであれば、雇用保険の被保険者とはなりません。。。微妙なところかもしれませんね。。
３１日を超えて雇用されることが見込まれることとなった場合は、その時点から被保険者となります。

なお、失業給付の受給中の場合は、１週２０時間を超える就労の場合は、失業認定の際に、就労証明が必要になると思います。不正受給の手伝いをしないようにハローワークに確認しておくとよいでしょう。

参考として。。。（失業認定条件）
事業主に雇用され、契約期間が７日以上の雇用契約において、週の所定労働時間が２０時間以上、かつ、週の就労日が４日以上の場合は、実際に就労をしていない日も含めて就職しているものとして取り扱う。。。