勤務表管理

そこまで協力が得られない状況ですと、
少々手荒い手段に出るしかないかもしれませんね・・・（＾＾；

まず、就業規則等で事前に届出のない休日出勤や時間外労働を原則禁止してはいかがでしょうか？
休日出勤手当や時間外労働手当は、
必要もないのに勝手に行った場合には支給しなくてもかまわないことになっています。
つまり、「休日出勤や時間外労働は事前に届出しないと認められないもの。そして勝手に行った場合は手当は支給されないもの」と認識してもらうわけです。
手当てが支払われないのは困るでしょうから、ちゃんと提出するようになるのでは？
ただし、届出がなくても、上司が指示して休日出勤や時間外労働をさせた場合は勝手に行ったことにはなりませんので、
これらを上司が指示する場合はその場で届けを出させる、
勝手に休日出勤や時間外労働して事後に届出してきたものには了承印を押さない（やむをえない場合を除く）等、
上司側にも徹底させる必要がありますけどね。
黙認は認めているのと同じことになりますので、原則禁止する旨の告知が必須です。

【参考】
http://www.smbc-consulting.co.jp/company/solution/training/training_634.html

年次有給休暇は、原則として事前に請求するものとなっていますから、
事後請求を会社が飲む義務はありません。
事後請求があった場合に年次有給休暇として処理するかどうかは使用者の裁量に任されています。
急な病欠など、やむを得ない事情がない限り、認める義務はないのです。
また、就業規則で年休の請求は一定期日前（前日、前々日など）までに行うことと定めるのは有効とされています。
これを理由に、やむを得ない場合（病気など）を除き、一定期日前までに請求されなかった場合、年次有給休暇としての処理は認めない（欠勤扱いにする）ということを徹底してはいかがでしょうか？
欠勤扱いになって給与が控除されると困ると感じてくれれば、
事前に届出してくれるようになるんじゃないかなぁと思います。

【参考】
http://www.jil.go.jp/kobetsu/book/25.html

Maria様
早速のアドバイスを有難うございました。
有休がある限り欠勤にはならないのかと思っていました。
就業規則では3日前に届出を申請するようになっていますが
入社時の説明をきちんとしないことも原因かもしれません。

資料も大変参考になりました。
有難うございます。