こんにちは。
退職後に住民票の異動をし、元の会社に新住所を知られたくないとして回答いたします。
○新住所を知らせる必要について
まず、退職後の住居変更については元の会社に知らせる必要はありません。
ただし、下記の通りあなたが不利益を被る事が想定されるため、常時連絡はとれるようにしておいた方が良いと思われます。
まず、会社は退職時の住所で手続きを行うので、新住所は必要ありません。
ただ退職後も雇用保険等でやり取りする必要があります。しかし、電話(携帯等)があれば要件が聞けますし、郵便局に転送届を出しておけば旧住所で出した郵便物も新住所に1年間は転送してもらえます。また、直接会社に行ってやり取りをする事も可能です。
いつかいりさんの回答の通り、会社は退職手続きを行えば良いだけですが、あなたと連絡が取れなくなった場合、忘れ物や離職票が渡せなくなったり、あなたが会社の物を返却していない場合等では警察等に盗難届等を出したりする事も考えらます。他にも諸々においてあなたの不利益が山積するだけです。
○「諸々の住所変更は自分で行う」について
この『諸々の住所変更』とは何を指すのでしょうか?
社会保険等については「あなた」と「担当行政」が契約しているわけではなく、「事業所」と「担当行政」が届出を持ってやり取りをしているため、個人が事業所に変わって手続きをする事はできません。
逆に国民年金や国民健康保険の手続きは、個人の手続きになるため(委任状等が無い場合は)他人である事業所が手続きをする事はできません。
よって、一纏めにした質問の場合は「全ての手続きを自分で行う事はできない。」としか回答できません。
○転居の時期について
上記回答はあくまでも退職後に住民票を異動した場合についての回答です。
退職日前に住民票を異動した場合は、新住所を知らせる必要があります。退職共済等では住所変更等の手続きを行わない場合、支給されない事もあります。また、就業規則等に違反しているなど様々な不利益事項が出てきますのでご考慮ください。
追記:
質問文をみると、「国民年金・国民健康保険」と「厚生(共済)年金・協会けんぽ(健康保険組合)」の区別がついていないように見受けられます。諸々についてよく分かっていない場合、ご自分で諸々の手続きを行なう事はできませんので、まずそれらについての知識をつけるか、会社に新住所等を教えて任せないと、間違いなく不利益を被ると思われます。