出産手当金の申請について

4月6日に出産し、6月1日より育休開始しました。
そのタイミングで、会社に医療機関の証明等記入済の申請書を郵送しました。

私の会社は、20日締めで当月末払いです。
最後に給与が支払われたのが3月分の3月31日でした。

そこでお伺いしたいのですか、2016年より、タイムカードや出勤状況の証明は提出不要となっていますよね。
6月の給与の締め日を待たずに提出は可能ですか？（6月20日締め）
それとも、締め日を過ぎてじゃないと提出出来ないのでしょうか。