被扶養者の加入について

健康保険組合の被扶養者加入については裁量権が保険者（健康保険組合）にあります。よって、なかじんさんの加入する健保からダメと言われれば加入できません。
ただ、民法において生活保持義務がある「実子」を両親の家に住んでいるだけで扶養できないというのはかなり厳しい判断だと思います。

そこで。。。
実際には両親と一緒に暮らしているけど、書類上は別世帯にし、子供を扶養にいれる方法をとって見るのはいかがでしょうか？

健保は本当に両親と住んでいるかを実際に見に来るわけではなく、提出された書類（住民票）を見て両親と一緒に住んでいると判断されているのだと思われます。

住民登録は同じ住所で世帯を分けることもできますから、社員の方自身が世帯主になり、そこにお子さんと奥様を入れれば、実際に両親と住んでいても住民票上では両親が出てこなくなりますので子供が扶養に入れるのではないでしょうか。
少なくとも同じ住所に、世帯主は何人いても問題ないですから。

ただ、今回のケースでは一度両親と同じ場所に住んでいることを知られているので、ほとぼりが冷めた頃に再申請する・一旦他の場所に住民登録を移すなどの対処が必要になるかもしれません。