所得税法第226条により、
年途中の退職の場合は退職後1ヵ月後以内に源泉徴収票を交付する義務があります。
確かに退職した場合も在職中の方と同じ時期にまとめて交付という会社もけっこうあるようですが、
厳密に言えば、これは違法です。
(罰則規定もあります)
貴社には従業員の前職に源泉徴収票を請求する権利はない(請求権があるのは受給者本人)ですから、
該当の従業員に、
「所得税法第226条により、退職後1ヵ月後以内に源泉徴収票を交付する義務があるのだから、
すぐに交付してください」
と前職の会社に伝えてもらうしかないのではないでしょうか。
もしそれでも交付してもらえないのであれば、
該当の従業員が税務署に「源泉徴収票不交付の届出書」を提出することで、
税務署のほうから前職に源泉徴収票を交付するように指導してもらえます。
ただ、請求される側にとっては、
年末の忙しい時期に請求されても手が回らないという状況はわからなくもありません。
(退職時に交付しなかったほうが悪いので、自業自得ではあるんですが・・・)
なので、できれば年末調整の時期になってからではなく、
もう少し前(10月とか)に、中途入社の方に対して、
「前職で今年の収入がある場合、年末調整には前職の源泉徴収票が必要なので、
退職時にもらっていないなら、早めに請求してもらっておいてくださいね。
もし間に合わなかったら、自分で確定申告しなくちゃいけなくなりますよ」
と、あらかじめ声掛けをしておくことも大事じゃないかなぁと思います。
年末調整の時期に入る前なら、前職の会社も対応しやすいでしょうし、
いったん断られて、再度請求するとか税務署に届けるとかにしても、
時間的に余裕がありますからね。