嘱託医手当受け取りに際し請求書は必要なのか？

法的には必要ないと思います。例えば、不動産の賃貸借契約と同様だと思います。

ただ、法的とは別の意味で、社内の支払手続きのために請求書を必要とする企業も多いと思います。もっとも、請求書が入手できない場合には、毎回の支払依頼の都度契約書をコピーするなりして、支払を求める証拠として代用しているはずですが。
（「請求書が必要な場合には云々」という文面をどこかで見かけられたことがあると思いますが、それはこの辺の事情を配慮してのものです。）

先方の事務の方に、なぜ請求書が必要になったのか、尋ねてみてもよろしいのではないでしょうか。