被扶養者の異動届を提出に行くのは誰が適切なんですか？

ちびぷりんちゃんさんこんにちは。
ご質問の件ですが、方法はちびぷりんちゃんさんの仰っている方法も含め複数あります。

①社労士と契約し、社労士が手続きを行う

②会社の事務担当者が社会保険事務所へ赴く

③異動をする本人が手続きをする

④社会保険事務所へ手続き書類を郵送する

⑤ネット上で手続きをする


③もできないことはありませんが、基本は「会社を通して行うもの」ですから、もちろんやってもいいとは思うのですが、不適当ではないでしょうか。

一般的に多いのは②と①だと思います。
私は社会保険事務担当者なので、②の方法で手続きをしています。
しかし、健康保険組合を通しているとか、社会保険事務所が遠方だったりする場合、すぐに行けないこともありますので④の郵送で手続きをする方法を取ることがあります。
前職では④でした。
一歩進んだ会社の場合は⑤のネットで手続きをしているところもあります。弊社ではこれを目指していますが、何分難しいです。

基本的には社会保険事務担当者が手続きを取るのが妥当だと思います。
私の上司も、あまり私が席を外すのを良く思っていないので行く日や時間を指定されていたりしますが、よっぽど私自身が休んでしまった等の理由がない限り、私以外にそういった手続きをさせることはありません。
なぜなら私が担当者だからです。

会社ごとにやり方や手順があると思いますし、こういった手続きは１つの案件につき１人が最初から最後までやるほうが問題（ミス）が起こりにくいと思います。
窓口で何かしらの質問をされたとき、詳しくない人（例えば今回問題になっている社員さん）が手続きに行っても答えられないと困るかもしれません。
小さな会社でない限りは、専門の事務担当者を置く程のある意味「専門職」なのではないでしょうか。

ちなみに弊社は中小企業ですので、私は社会保険担当であり、その他雑務やらいろいろやっておりますが（笑