国保のコピー提出について

個人情報の集める理由・使用目的になってません。屋外の仕事での被災は労災保険、客先提出名簿に記載するのは、適用除外（短時間労働者）とかけば済む話です。

> 集める理由は、屋外での仕事なのでけがが心配、客先提出の作業員名簿に下４けたが必要、等です。

作業員名簿には健康保険の種類と番号の下4桁を記入しなければならなくなりましたね。
そして、とうぜん作業員名簿に虚偽の記載は御法度で、それをすると御社の信用問題になります。
この点をよく協力業者の皆さんに説明なさり、

・そもそも健康保険未加入者の入場を認めない

・健康保険加入の証明として「写しの提出」または「原本の提示」を行わない者の入場を認めない

といったような（例）御社なりのルールを定められて協力業者の皆さんと約束されることです。

写しの提出に抵抗があるようなら、職人さんご自身に
たいていの現場にある「就労カード」を書いてもらい、
提出時に原本の提示を義務づけて、
氏名、誕生日、番号などに間違いがないことを相互に確認する。
確認日もどこかに記載しておく。とされてはどうでしょうか。

個人情報うんぬんの前に、安全書類を提出できない職人さんを入場させるわけにはいかないですから
仕事を与えないというより、安全書類を要する場所での仕事を与えてはいけないでしょう。
（安全書類を要しない現場というものがあるかどうかは別の問題ですが…）