この場合の監査役の任期はいつまでになるのでしょうか？

今回は、任期途中で辞任したとのことなので、
前監査役の残りの任期期間が、新しい監査役の任期と思いますが。

前監査役が任期途中で辞任したため新しい監査役が3月20日選任されたとのことですが、原則は、選任後４年内の最終の決算の承認株主総会の終結時までとなります。
しかし、多くの会社では、任期計算の煩雑さを避けるため、定款に「前任者又は他の在任監査役の任期の残存期間と同一とする」旨の規定を置き、任期調整を図っています。

従って、御社の定款を確認し、そのような規定がなければ、平成24年8月開催の株主総会の終結時までとなりますが、そのような規定があれば、辞任した監査役の任期の残存期間となります。

トライさん

ご丁寧な回答ありがとうございます。
弊社は定款に残存期間についての記載を行っておりませんでした。
確かに今回のような場合は、煩雑（忘れてしまう）になりますね。今後役員へ話して見ます。