健康保険料の支払いについて

初回支払分が何月分の保険料かなど、直接加入している健保に状況を説明し質問したほうが、答えは早いと思います。

また、年金については、国保に加入していると思いますので、当然支払う必要があると思います。

こちらも、何月分まで払っているか確認し、社会保険事務所に相談した方が良いと思います。

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任意継続健康保険料ならびに国民年金保険料ともに９月分を支払っても社会保険に加入すれば、その時点で重複した場合、還付請求することにより返金されます。
多分、再就職は間違いないと思いますが、事業主が就職同時に社会保険の加入処理をされるかの不安もありますので、９月の保険料を支払われて、会社の社会保険加入を確認されのち還付請求されたらどうでしょうか。