労災になるかの判断について

毎年定期健康診断を実施しています。
その結果、会社・個人双方に検診結果が送られてきます。

糖尿や血圧でかなり数値の高い人がいます。

そのような異常値の方は総務の方で医療機関に行くように
本人宛に書面で通知し、受診した場合は受診したかどうか
結果を総務に返すよう行っております。

ですが、行かない人もいます。

強制はできないので、書面通達以降は何もしません。

この場合、会社で倒れたら会社の責任になるのでしょうか？

後、同じケースで倒れたとき、残業が多かった月があった場合は残業が悪化させた原因とみなされ、会社責任になるのでしょうか？

教えてください。お願いいたします。