初めての青色申告の質問です

現金管理していても、どんな管理をしていても、収入支出がはっきりわかっていれば良いです。
入出金伝票は会計ソフトをお使いであれば、必要ないでしょう。

まず収入管理ですが、所得税が引かれていると言うことですが、所得税は消費税ではありませんのでその仕分けが間違っております。
所得税は、確定申告時の納税額の先払い金ですので、事業主貸勘定に入れるべきです。
また、謝金の受け取り先からの法定調書（支払証明書）をもらっておくと便利です。

①現金　　　55,800／売上60,000
　事業主貸6,200／－－－
　
②できます。ガソリン代などは、距離に応じて計上できます。領収書または、いつ、どこからどこまで、何キロで、、、等計上する金額の根拠がわかればよいです。旅費清算書みたいなものを作ると良いでしょう。

③領収書は、月ごと管理し、すべてにおいて、事業の何のために使ったものか、メモがきでもかまいませんので、その旨を明確にしておきましょう。
コピー用紙を買っただけでは、経費になりません。

④　家族同士（同居）の賃貸は認められなかったかと思いますが、、、（間違っていたら申し訳ないのですが）
　　たとえ借主が、ご主人であっても、支払いは大家さんですよね。
　負担する内訳が、あなたの事業用部分、及びご主人の生活部分に分かれるだけであって、
支払い先は大家さんですので、、、
　　家賃（事業負担）☓☓☓円／支払先　大家さん☓☓☓＋〇〇〇
　　旦那さん負担　〇〇〇円
となりますので、
　家賃　☓☓☓円／現金又は預金（事業主借）☓☓☓円
の仕分けでよいと思います。なので、旦那さんとの賃貸契約はできませんので、旦那さんは確定申告は不要になるはずです。税務署等でご確認いただくと良いかと思います。