稟議書の定義

①　質問文に甚だ理解に苦しむ部門があります。「支払いは即日行った」 とあるのにかかわらず、なぜ 「リサイクル業者から連絡があり支払いが行われていないと言われ」 るのでしょうか。
　その金銭は何処に消え去ったのでしょうか。支払えば当然支払先から領収書を受け取っていなければなりません。その領収書をリサイクル業者に見せたら、未収と言えないはずです。そのための領収書とも言えます。

②　内部手続における稟議書の取扱い方法云々以前の、基本的なことです。その金銭が行方不明になったから、手続を問題化しているのではありませんか。
　誰かが横領したのです。警察などに連絡して捜査して貰いましょう。犯人を捜すことが先決です。

③　以上の理解しがたい疑問は別として、稟議書、請求書、支払決定責任の各関係は、組織ごとに異なっても同一であっても、どちらも問題視するほどのことではありません。
　事案によっては、稟議書の後に請求書であったり、その逆もあります。また支払決定が案件によっては先行することもあります。
　質問者の組織が官公庁であれば、その組織でがんじがらめのルールがあるでしょう。それでさえ総理の首を脅かすような稟議がまかり通っています。

④　質問の終わりの２行は、硬直した制度を理論で弄ぶに等しいことだと思います。
　要は、正しく稟議し、支払責任者が正しく責任を果たし、正しく支払えばそれで万事メデタシです。