事業場外労働の場合の勤怠記録について

こんにちは。社員数約500人の製造業　人事です。

この度、勤怠管理上で社員の不正が発覚し、取締りを厳しくしていく方針で
これまでの帳票類の様式変更を検討しています。
事業所で勤務した日は、タイムカードで出退勤の打刻をしていますが、
出張や直行直帰などで、会社に寄らない場合の勤怠記録の管理をどのようにすべきか
考えが煮詰まっています。

現状、月の半ばで一度、データに抜けているところがある場合、部署毎に実態を連絡しています。
部門長から部下に抜けている分を連絡→抜けている日については
時間を記入する届を書いてもらう→上長の承認後に人事へ提出　の流れです。
システムに入力できるのは、現状人事部の担当者だけです。

今までは、出張等の場合はこちらで旅行保険をかけているため申請が来るので
そこから就業管理のソフトの方にも入力していましたが
本人から上記所定の用紙が出てこない限り、こちらでは一切入力しないことにしました。
(申請の時点ではあくまでも予定で、変更の可能性があるため)

すると、外出が多い部署から、｢非効率的」「作業ばかり増える」｢現場の負担を増やすな｣等
不満がたくさんあがってきてしまい、改善を検討している次第です。

確かに、｢全て紙で｣というのは時代遅れと言われればそうなのですが、
管理系部門以外の社員は、パソコンを持っていない人もいるので、一律で電子化というのは
なかなか踏み出せずにいます。
皆さんの会社は、勤怠管理をどのようにされているのか、ご意見お聞かせいただけると幸いです。

長文乱文失礼致しました。
どうぞ宜しくお願いいたします。