派遣元責任者の派遣

ミイラとりがミイラになったような話ですね。

派遣元責任者は派遣元（事業場単位において）で何の業務についていてもかまわない（監査役は不可）が、派遣社員として派遣先にて就業専念せねばならないのでは、送り出した他の派遣社員のために責務を遂行できる状態にないのですから、不可でしょう。

派遣できる社員が少ないのでなく、いないのですから、断るしかないでしょう。

追加。

派遣元台帳に派遣されたあなたの名前がのこりますので、検査で見つかれば、どうなるか考えてもわかることと思います。