下請代金未払いについて

ご質問の下請代金未払いに対しての請求は難しいでしょう。

お話内にあります、元請社(者）の工事完了検査、通知報告がありますので、主契約金額での請求権行使しかできないでしょう。
ただ、元請け先、下請け先間で、お話にあります「元請けより現場管理監督員が着工より約１カ月は常駐しておりその指示で作業しておりましたが、突然来なくなってしまい、当社作業員がやむ得ず陣頭指揮を取って作業進めました（その間再三元請け会社に連絡、訪問しましたが、全くコンタクト取れませんでした。」

当該背景では、工事工程責務が完全に果たされていませんので、これらの件を証明することが可能であれば、元請け先にたいして賠償責任を追及することは可能でしょう。
やはり、基本は工事契約を締結することが必要でしょう。
訴訟については主契約先ではなく元請け先に対しての管理監督責任を問いただすべきでしょう。

公共工事の施工においてそのようなことがありえるのでしょうか？

現場代理人の不在はもちろんですが、検査までまったく施工業者とコンタクトも取らず、元請会社はどうやって竣工書類を作成したのですか？

「残土量や道路幅員が当初の元請け説明と相違」とありますが、設計書ではどうなっているのですか？
公共工事は設計書に基づいて竣工書類を作成するはずです。その出来型についての矛盾は検査でも指摘されるはずですよね？

「当社より発注者に完了の旨伝えた後、元請人が完了検査にきて全て終了となりました。」とありますが、下請会社が発注者に完了の連絡をするなんて、普通では考えられません。

ご質問のお答えになりますが、その元請会社と訴訟をするおつもりなら、役所の担当者に相談されてはどうですか？
契約書が取り交わされなかったことは、やはり不利です。
極端な話、「頼んでもないのに勝手に施工された」と言いがかりをつけられても困ると思います。

それならば、「元請会社であるにも関わらず、まったく管理を行わなかった」という事実を全面に出して戦った方が、相手もこちらの言い分を聞かざるを得ないと思います。

どちらにしても公共工事を題材にした訴訟となれば、発注者の役所も引っ張り出されます。
その後の公共工事においても大きく影響がでるでしょう。

それを踏まえて徹底的に戦うか、泣き寝入りをするかどちらかの選択です。