社員の家族が病気で、長期休業する時の、給与支払いは？

こんにちは。

基本的には「ノーワーク・ノーペイ」ということで、無給としている事業所が多いと思います。
無給ではご本人も困るでしょうから、恐らく欠勤が必要な日は有給休暇を使われるのでは？

欠勤・遅刻・早退が必要になるということですが、理由が家族の病気というプライベートなことで、従業員の都合ですので、「使用者の責に帰すべき休業」には全く該当しません。
「使用者の責に帰すべき休業」というのは、簡単に言いますと、「本来出勤すべき日で、従業員も働く予定なのに、会社の都合で休んでもらった日」を指します。
例えば、今回の事例で「事情はわかるが、そんなに遅刻と早退が多くては、他の社員の士気にかかわるので、休んでくれ」と会社から命令した時は、「使用者の責に帰すべき休業」に当てはまる可能性もありますが、あまり現実的ではないですね。

ちなみに、介護のための短期の休暇制度を創設する（要介護状態の対象家族が、１人であれば年５日、２人以上であれば年１０日）ことが原則義務付けになったことはご存知でしょうか？
会社でどのように規定しているかにもよるので、一概にはいえませんが、今回の事例で適用になる可能性もあります。