この場合、任意継続での傷病手当はもらえますか？

任意継続被保険者に対する傷病手当金は、
平成19年4月の改正により廃止されています。
したがって、任意継続被保険者としての傷病手当金は、
がお子さんには受給資格がありません。

ただし、傷病手当金には、資格喪失後継続給付というものがあり、
こちらの条件を満たしていれば、退職後も継続して傷病手当金を受給できます。
資格喪失後継続給付は、退職後に任意継続被保険者となっていても、国民健康保険に加入していても関係ありません。
資格喪失後継続給付の受給要件は、
●資格喪失日前日（退職日）までに強制被保険者期間が1年以上あること
●資格喪失日前日（退職日）の時点で傷病手当金の受給資格があること
上記の2つとなります。
3年間勤務されていたとのことですから、1つめの条件は満たしていると思われます。
（勤務期間＝強制被保険者期間ではない場合もありますので、念のため会社にご確認ください）
8/30退職とのことですから、8/30時点で傷病手当金の受給資格があれば、退職後も受給できることになります。
8/30時点で受給資格があるのは、8/30に労務に服しておらず、かつ労務不能であった場合です。
医師の証明が8/31以降のものだと、8/30時点で労務不能であったかどうかがわかりませんので、
資格喪失後継続給付の受給要件を満たしている証明にはなりません。
したがって、申請書には8/30を含む期間の医師の証明が必要になるわけです。
文面から、8/13～30は傷病手当金を受け取っておらず、有休を使用したのは8/23までということだと思いますので、
その場合、申請書には8/24分から医師の証明を受けてください。
資格喪失後継続給付は退職日時点で受給資格があることが前提ですから、
いずれにしても会社を通さなくてはならないので（労務に服していないことを会社に証明してもらう必要があるため）、申請日を後ろにずらす意味はありませんよ。

健康保険組合が8/31以降の分を出すように言われたとのことですが、
たぶん、これは組合の勘違いだと思います。
月末退職だと思われたのでは？
8/30退職の場合、8/31が資格喪失日になりますから、
資格喪失後継続給付を受けるには、8/30に対する傷病手当金の受給資格が必要です。
したがって、8/30を含む日付で申請する必要があります。

Mariaさん、丁寧なご返信ありがとうございます。
実は焦っていたのに、あまりにも誰からも返信がなかったもので、社会保険庁に行ってきました。するとMariaさんがおっしゃる事とまったく同じことを言われました。これで心強く、生活できます。
かなり不安でしたので、助かりました。
これからまた会社と手続きしようと思います。
本当に本当にありがとうございました。