労災保険での、治療費請求は、途中からでもOK？

法的には、自賠責と労災のどちらを使用するかは被災者が自由に選べることになっています。
ご質問のケースでは、被害者でかつ加害者が任意保険に加入しているようですし、
厚生労働省から以下のような通達も出ていますので、
労災のほうからは、自賠責の範囲内で収まる分は、自賠責で処理するように言われるとは思いますけどね。

「労災保険の給付と自賠責保険の損害賠償額の支払との先後の調整については、給付事務の円滑化をはかるため、原則として自賠責保険の支払を労災保険の給付に先行させるよう取り扱うこと」
（昭４１．１２．１６基発１３０５号）

> 今から労災保険先行というのは、できるものなのでしょうか？

おそらく加害者の加入している任意保険に、自賠責保険の支払分もまとめて支払う一括払制度があり、
現在その自賠責支払い分を任意保険会社が立て替えているという状況だと推測されます。
したがって、まだ任意保険会社から自賠責保険への請求がされていないのでしたら、
任意保険会社の一括払いを解除し、労災先行にすることは可能かと思われます。
ただし、その場合、任意保険会社が立て替えている分は、一旦返還する必要が出てくるのではないでしょうか。
（こちらについては、治療費を立て替えている任意保険会社にご相談ください）

なお、もし労災先行が可能だった場合でも、
労災先行にすることによって、被災者側の損になるケースも存在しますので、
安易に労災先行にしないほうがいいです。
加害者が自賠責だけでなく任意保険にも加入しているのならなおのことです。
どちらを先行したほうが被災者にとって得になるかはケースバイケースですので、
相手の加入している自賠責保険や任意保険の補償範囲、
発生すると思われる治療費や休業補償、慰謝料の額などをご確認のうえ、
慎重にご検討されることをオススメします。
以下のリンクがわかりやすいかと思いますのでご参照ください。

【参考】
http://www.asunaro-as.net/service/jiko.html#yusen
http://www.iwate-roudou.go.jp/date/rousaihosyo/rousai14.html
http://www.fujisawa-office.com/rousai7.html

ご回答、ありがとうございます。

大変参考になりました。

早速、労災事務所に電話して、相手保険会社の担当に
了解をもらい、切り替えできることになりました。

途中からの切り替えということになります。

どうも、相手保険会社に、情報を全部にぎられるのが、
不安なようです。
治療打ち切りを、匂わせられたようで・・・

実際、自覚症状がだいぶあるようで、今、治療を打ち
切られると、完全復帰は難しそうです。

世間一般では、保険会社の未払い、払い渋りが、広く
伝えられていますので、それが不安なようです。