任意継続の退会について

> 任意継続の退会は、当社で手続きを行うのでしか？それとも本人が手続きを行うのですか？
> 本人は、会社で手続きをしてほしいと保険証等を送ってきました。

任意継続は原則としてご本人が手続きするものです。
しかしながら、再雇用ということですので、同じ保険者なわけですし、
委任状があれば、資格取得手続きと同時に手続き可能かもしれません。
健康保険の窓口に問い合わせてみてはいかがでしょうか？

> 会社で手続きする場合は、任意継続の退会手続きと協会健保への加入（資格取得）手続きとどちらを先にするのでしょうか？

任意継続被保険者は、資格喪失要件が厳しく、任意で資格喪失することはできません。
このため、原則として資格喪失要件を満たすことがわかる書類が必要となります。
ご質問のケースでは、新たな健康保険の加入による資格喪失ですので、
資格喪失手続きの際には、新たに健康保険に加入したことがわかるもの（新しい被保険者証の写し等）が必要です。
つまり、任意継続の資格喪失手続きは、御社での資格取得手続きの後にしかできないことになります。
ただ、今回のケースは同じ保険者ですし、保険証の写しの添付は必要ないかもしれませんけどね。
（保険者自身でいつ資格取得したのか確認することが可能ですので）