両親を扶養家族にする場合

ご質問の“扶養”というのは、
所得税法上の扶養控除のことでしょうか？
健康保険の被扶養者認定のことでしょうか？
それとも両方ですか？
上記の2つはまったく別物なので、それによって回答が違ってきます。
また、そもそも被扶養者とする要件を満たしているのかどうか？という問題もあるかと思いますが、
それを回答するには情報が不足しています。
●ご両親の年齢は？
●ご両親の収入は？（年金はないとのことですが、それ以外の収入は？）
●ご両親の加入している健康保険は何？
●従業員とご両親は同居？別居？
●別居の場合、ご両親への仕送り額は？
●貴社の健康保険は、協会けんぽ？健康保険組合？
このくらいの情報がないと、回答しようがありません。

> 状況
> ・現在従業員には配偶者・扶養家族はいません
> ・扶養に入れたいのは、本人の両親のみ。
> ・両親は現在健康保険に加入しています。
> ・年金はありません。
⇒状況がこれだけだとわからない部分が多いですが
　「扶養に入れたい」というのを健康保険の事として
　お答えします。

> 相談
> ・両親を扶養に加えることで、従業員（本人）に金銭的な負担はかかってくるでしょうか。

⇒健康保険の場合、扶養要件を満たせば被保険者の被扶養者となり、被保険者のみが保険料を支払い、その保険料は扶養前と変わりません。


> ・両親を扶養に加える場合、現在両親が加入している保険は扶養に加える前に解約？しておいたほうがいいのでしょうか

⇒ご両親は無職で年金受給もないとの事なので、恐らく「国民健康保険」に加入されていると思います。御社の「健康保険組合（または「協会けんぽ」）」の扶養者に認められれば、国保の保険証の役所への返納だけで大丈夫ではないでしょうか。


> ・従業員の扶養に加入した場合、両親に金銭的な負担はあるのでしょうか。
>

⇒前述の通り負担はないと思います。



＊いずれにしても扶養要件を満たすかどうか、健保組合（または協会けんぽ）に確認したほうがいいと思います。

扶養要件には、組合により多少の違いがありますが
両親の所得、同居・別居、生計費の負担を被保険者がどの程度しているか、などなどあると思います。