宿直と当直の違い

どれが質問で、どれが現状なのか、読み切れないのですが、

宿直の勤務を日中にこなすのが、日直といわれています。ですので、宿直と当直の違いといわれても、「当直」という言葉に、それぞれの企業が自社の実情にあわせて意味をもたせるので、お答えのしようがないです。

また宿直について労基署の許可がなければ、深夜勤務の全時間は労働時間となり、深夜の割増手当、時間外労働の割増手当の支払も免れません。

労基署の許可を得たければ、少なくとも宿直手当が日勤の1/3相当額以上支払う必要があります。許可が下りない以上は、通常の賃金に拘束時間に相当する割増を付加し続けるしかありません。そちらをまず是正することでしょう。