頑なに退職後に自分で手続きをすると言い張るのには、なにか事情があるかもしれませんね。
詮索したところでどうにもならないでしょうから、会社へ提出しないのであれば、資格喪失届にはその旨記載して手続きする以外に方法はないでしょう。それ以後は保険者である協会健保なり健保組合に任せるしかありません。
それから、退職後に印鑑などの私物を取りに来させるのは止めるべきです。退職日までに全て持ち帰るようにさせるべきです。退職した者が退職後に事務所の中をまるで現役のようにウロウロするのはよくありません。その意味でも、退職に係る手続きは退職日までに全て終えておくことです。