退職と住所の変更の件でお尋ねいたします。

退職者には人事総務担当者がご説明するのが本質なのですが、
社労士の方々がＨｐで説明をっされています。

失業保険の解説」トップ ＞ 失業保険の手続き：「転居」した場合
http://www.koyouhoken-situgyouhoken.biz/situgyouhoken/situgyouhoken-tetuduki-tenkyo.html

>同じ県内ではないので、ハローワークや社会保険の任意継続等の手続きの際、現在も住んでいる県の管轄に行くのか新しい住所の管轄に届け出るのか、その辺りが分かりません。

健康保険が協会けんぽの場合、運営及び保険料が県ごとに違いますので、基本的には転居先でお手続きいただくことになりますが、時間の余裕がない場合は、
・郵送で手続きする
・一度転居前に手続きして、転居の際に転出・転入手続きする
方法も考えられます。