離職証明書を確認していない

> 学期雇用で小学校の給食の仕事（公務）をしていましたが、突然来期（3学期）からの契約を打ち切られました。
> 　ただ気になるのは、離職証明書の確認も捺印もしてなかったので、雇用担当者に聞くと『そのような書類はありません』との返事で、不安に思っています。
> 　現在、離職票を待っている状態ですが、ハローワークに行って相談したほうがいいですか？


臨時の公務員なのでしょうか？毎月の給与明細書に雇用保険料が源泉されていたのでしょうか？されていたのであれば、ハローワークに相談してみてください。

> > 学期雇用で小学校の給食の仕事（公務）をしていましたが、突然来期（3学期）からの契約を打ち切られました。
> > 　ただ気になるのは、離職証明書の確認も捺印もしてなかったので、雇用担当者に聞くと『そのような書類はありません』との返事で、不安に思っています。
> > 　現在、離職票を待っている状態ですが、ハローワークに行って相談したほうがいいですか？
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> 臨時の公務員なのでしょうか？毎月の給与明細書に雇用保険料が源泉されていたのでしょうか？されていたのであれば、ハローワークに相談してみてください。

週20時間以上の勤務及び一ヶ月以上の雇用であれば、雇用保険に加入されているはずです。
ただ、給食の仕事ということですので、1日4時間以上の勤務が確保されていたかが判断できません。
もしかしたら、週20時間以下の勤務ということで雇用されていませんでしたか？
もしそうなら、雇用保険に加入していないわけですから、離職票は存在しません。
そうではなく、確かに雇用保険に加入していたのであれば、仰るとおりハローワークに相談してください。
離職票に対する認識として、1年以上勤務していないと必要ないと考えている方が少なくありません。
雇用担当者がそのように認識しているとも考えられます。
今回のような場合、雇用保険に加入していて6ヶ月以上勤務していれば、雇い止めとして雇用保険の給付が受けられる可能性があります。

どちらにしろ、まず雇用保険の加入の有無を確認してください。