請求書の捺印管理は必要でしょうか

回答がないようなので、ご参考まで。

私も転職して総務部長に就任した後、角印・認印などの捺印申請および捺印簿を省略したことがありますよ。頻繁に総務部へ持ち込まれる押印申請書類を処理している部員の負担軽減と ある意味 無駄を省くためにでした。
ただし、会社実印と認印は総務部長が、銀行印は経理部長が金庫で管理していたなどの実状も考慮しての判断でしたから、hondaiさんの会社での管理規程や実状がどうなっているかを無視するわけにはいかないと思います。
印章管理規程を作成中とのことですから、基本的に実印は管理簿を付け、認印は各支店長管理、角印は所属長管理で責任を委ねることでも間違いではないと考えます。
請求書については、印鑑が何であったかではなく、それが会社の発行したものと見なされるかどうかですから、印章管理というよりも書面の管理責任の問題だと思います、一定のチェックは必要でしょう。
一般論としてご参考まで。