退職者の夏期休暇取得

請求を拒むことはできません。
「７～９月の間で５日間すきなときに」の考え方は普通の年休の考え方と、計画的付与の考え方2通りできると思いますが、そのどちらをとったとしても退職予定者には請求された年休を付与する必要があります。根拠は、
７/２０まで⇒普通の年休取得の考え方。年休請求権はその日が労働日であることを前提にに発生するものですから、退職の効力が発生するまでは年休の請求権は有効に存続する。
７/２１～９月末⇒普通の年休でも計画的付与の考え方でも
退職の効力が発生後は、時季変更権は行使できない。なぜなら、退職後は労働義務が無いから。
計画付与の考え方でいけば、労働義務の無い日に計画付与する余地は無い。
また、行政解釈でも
「計画的付与は、当該付与日が労働日であることを前提に行われるものであり、その前に退職することが予定されている者については、退職後を付与日とする計画的付与はできない。従ってそのような場合には、計画的付与前の年休の請求を拒否できない」（昭63・3・14基発第150号）としています。

ご回答、ありがとうございました！

ただ気になることがあります。

今回は引き継ぎ等スムーズなので、有給と夏期休暇を
取得して早くに会社に来なくなるのは業務上支障がないようですが、
もし忙しかったり、引継ぎがきちんとできていない状態だったりして、退職日前に休まれると会社が困る場合は
休みの請求を拒否することはできるのでしょうか？

退職前までに時季変更権を行使することは可能ですが、変更するといっても上述のように退職後の日にもってくることはできません。
それに時季変更権の行使要件で「事業の正常な運営を妨げられる場合」にあたるためには、その労働者の年休を取る日の仕事がその所属する部・課などの業務運営にとって不可欠であり、かつ代わりの労働者を確保することが困難であることが必要とされています。
そして業務に支障をきたすことが客観的、具体的に明らかでないと無理です。
有給休暇は労働者の権利ですので、請求された有給を拒むことは（退職前でもあることですし）問題ありです。
それよりも退職までまだ日があるわけですから、計画的に業務引継ぎを行わせることが労務管理上優先されるべきことと思いますが。