退職について

‘売り言葉に買い言葉’というのはよくあるケースですが、こういう時には意思表示に瑕疵や誤認がある可能性が高いと理解したほうがよさそうです。
つまり双方、冷静に真摯に対話していない。
ご質問のケースの段階では、心裡留保として取り扱うべきでしょう。

意思表示には、真意が相手に到達することが必要です。
その一瞬はそう思ったのかもしれませんが、真意はそうではないかもしれません。
雇用関係の終了には、その解約の意思表示に確実な伝達方法が求められます。
退職願を文書で提出させることが必要です。提出してくればその場合は自己都合退職です。

逆に、経営者側の解雇の意思表示は文書で行なうのが原則です。
解雇理由を添えてそれを相手がのめば解雇は成立しますが、あくまで会社側からの意思表示なので、合理的な解雇理由（例えば労働者が就業規則で定める解雇事由にあたる行為をしたとか）で無い限り会社都合です。

> また、解雇及び退職時は意志表示から効力が発生するまでは一定期間ありますが、このケースは即時発生すると考えてよろしいのでしょうか？

即時解雇にする場合または予告期間が３０日に満たない場合は、その日数によって解雇予告手当ての支払が必要です。

解雇理由は可也厳しいとお考えになったほうが宜しいと思います。
このご時世、労働者側もかなり研究しています。
一度冷静に話し合いをするべきと思います。

（回答）
労働契約法
解雇（第１６条）
・労働基準法第１８条の２を削除し移す。

かなり厳しくなっていますので、

（１６条）解雇するには合理的な理由が必要である。
・労働基準法で定められていた規定が、労働契約法に移された
解雇する際には相応の手続が必要になる。
・労働契約法の精神から解雇する前にしかるべき手続きを行うのが適切である。
「合理的な理由があること」
「社会的相当性があること」

もう一度冷静に話し合われることをおすすめします。

なお、「労働契約法」の概要については、当事務所下記ホームページにて、パワーポイントで作成していますので、是非
ご覧下さい。
藤田行政書士総合事務所
行政書士　藤田　茂
http://www.fujita-kaishahoumu.com/