失業期間中の社会保険について

> 例えば、１２月３１日付で前の会社を退職し、翌１月１５日付で新しい会社に入社する場合、失業中の１５日間の社会保険はどうなるのでしょうか？両方の会社とも、社会保険適用事業所であり、被保険者資格のある雇用形態です。
> 一旦国保に加入するといった手続きが必要なのでしょうか？

日本は国民皆保険制度（全国民が何らかの健康保険に加入するよう定められている）を採っていますので、
次の会社までのブランクの期間は、国民健康保険に入る必要があります。
（厳密に言えば、任意継続や家族の健康保険の被扶養者でもよい）
ブランクが短期間だとそのまま無保険状態の方がいらっしゃるのは確かですが、
もしその間に医療機関にかかるようなことになると、自費診療となりますから、
個人的には、たとえブランクが短期間であっても国民健康保険に加入されることをオススメします。
健康な方であっても、事故などでケガをしないとも限りませんからね。
（自費診療の場合、病院側が自由に治療費の額を決められますから高額になります）

> その場合、国保料も必要になりますよね？

同月得喪（資格取得日と資格喪失日が同月）の場合、
社会保険では健康保険法の規定により1ヶ月分の保険料が徴収されますが、
国民健康保険では、“通常は”保険料はかかりません。
厳密に言うと、同月得喪の場合に保険料を徴収するかどうかはその地方自治体の条例によるのですが、
どこの地方自治体でも同月得喪では保険料を徴収しないという取り扱いをしているようです。
少なくとも、私が以前調べた範囲では、同月得喪で保険料を徴収しているところは見つかりませんでした。
もちろん、すべての地方自治体を調べたわけではないので、
徴収しているところがあるかもしれませんから、
念のため、お住まいの地方自治体に同月得喪の場合の保険料の取り扱いを確認されるとよろしいかと思います。

> また、失業期間の日数等によって条件が変わったりするのでしょうか？

前述のとおり、日本は国民皆保険制度を採っていますから、
ブランクの日数によって、国民健康保険に入れたり入れなかったりすることはありません。

Mariaさん、丁寧なご回答ありがとうございました。大変勉強になりました。
いつもこの「相談の広場」で、的確なアドバイスをなされている方に直接ご教授願えて光栄です。
今後とも、よろしくお願いします。