不払い時間外労働賃金の請求について

従業員が退職する気で会社を通報するなら、労働基準監督署に行くでしょうし、退職する気が無い場合は、労働局の総合労働相談センターや紛争調整委員会に相談するでしょう。
裁判は最後の手段です。

タイムカードのコピーを請求された場合応じる必要があるかどうか。

労働訴訟に立ち会った経験もないし助言の経験もありませんが、個別労働紛争解決手続代理業務試験を受験した私（まだ合否は不明）なりに考えました。

裁判や調停、あっせんの場で、主張するには主張事実の証明が必要であり、主張する側がそれを立証しなければなりません。
タイムカードは重要な証拠となります。
一方、会社はタイムカードを保管する義務があり、タイムカードは会社の所有物ですから、法的根拠無く他人に開示する義務はないものと思われます。
したがって、不払い手当を要求する労働者はメモなどそれに代わる証拠を提出しなければならないものと思います。

しかし、弁護士から聞いた話では、民事訴訟に至った場合では、労働時間の立証データを労働者は会社に請求できるということです。
（あまり自信はありません）