高校生 103万を越えたら

まず、SaKi さん自身が払う税金についてですが、高校生ですので、給与収入が130万円までは勤労学生控除を受けられますので、所得税・住民税は0になるはずです。アルバイト先での年末調整（アルバイト先でやってもらえなかった場合は確定申告）が必要となります。
また、103万円を超えても、130万円までは親御さんの加入している健康保険の扶養に入れますので、こちらについては特に問題ありません。

次に親御さんが払う税金ですが、親御さんは働かれているんですよね？
その場合は所得税・住民税を計算する際に、SaKi さんの扶養控除を受けられなくなるので、その分税金が増えるのですが、親御さんの給与収入額等がわからないのではっきりとは言えませんが、10万円前後は増えることになるかと思います。

さらに、母子家庭で支給を受けているとのことですが、児童扶養手当のことですかね？
こちらについてはよくわかりませんが、「扶養」していることで支給される手当ですので、扶養から外れたら返金ということになるのではないでしょうか？
医療の方については、親御さんの健康保険からは外れないはずですので、特に問題ないかと思います。

広島市のＨＰですが、同様の質問がありましたので転載します。

学生にも、個人の市民税・県民税（住民税）は課されるのですか。(FAQID-9999）d

学生でも、アルバイトなどで収入があり、前年の所得金額が３５万円超（給与所得者の場合、年収１００万円超）となる場合には、原則として、個人住民税が課されます。

ただし、前年の所得金額が６５万円以下（給与所得者の場合、年収１３０万円以下）で、かつ、自己の勤労によらない所得が１０万円以下の勤労学生である場合は、個人住民税の所得割の算定において、所得金額から勤労学生控除として２６万円が控除されます。

なお、未成年者については、前年の所得金額が１２５万円以下（給与所得者の場合、年収約２０４万円以下）であれば、個人住民税が課されません。

詳しくは、最寄りの【市税事務所市民税係】又は【市役所財政局税務部市民税課市民税係】へお問い合わせください。

http://www.city.hiroshima.lg.jp/www/contents/0000000000000/1205718215008/index.html

あなたの住民税は課税されないのではないかと思いますが、正確にはお住いの市役所の市民税課に聞いてみてください。

お母様があなたを扶養親族としての控除を受けて所得税・住民税を支払われているとして、
そちらへの影響ですが、所得より控除額の方が大きいとなれば影響はないかもしれません。
（各種控除をした上での課税所得がなければ非課税のままです）

医療手当等に影響するのかは、直接担当の福祉事務所に聞くしかないと思います。

長文のコメントありがとうございます。

お母さんは持病があり今は働いていません。

4ヶ月に16万の手当ては児童扶養手当の事でした。

とても分かりやすい説明ありがとうございました。