従業員紹介制度について

記載された内容からの判断ですが、問題はないと思います。
許可の取得などは不要でしょう。

法は第三者が営利目的で行う職業紹介を問題ありとしています。
実際、社員の人脈等を利用して自社の採用活動を行うことは珍しくないでしょう。

紹介者だけではなく、紹介された新入社員に対しても報奨金などを
適正金額で支払うことは公平感もありますね。
さらに、支払いの時期も良く考えられていると感じます。