社員にお子さんが産まれたときの対応について。

扶養控除申告書（平成２８年分給与所得者の扶養控除等（異動）申請書）は原則として会社保管です。
税務署から提出を求められた場合には提出する必要がありますが、通常そのようなことはありません。

住民税との関わりに関してですが、住民税額は原則として、年末調整の際に源泉徴収票と一緒に作成し、自治体へ提出する必要のある、「給与支払報告書」によって決定されます。

給与支払報告書（源泉徴収票）には、各種別の被扶養者の人数を記載する欄がありますが、ここへの記載は、社員から提出されている「最新の扶養控除申告書」に基づきます。

そして自治体は、提出された給与支払報告書に記載されている、給与所得者の収入、各保険料、「扶養控除申告書に基づいた」各種別の被扶養者の人数等によって、住民税額を計算し、特別徴収義務者に通知するという流れになっています。
なので扶養控除申告書は、間接的にですが住民税額の決定に関わっています。

質問者様の会社で行う公的な手続きは、基本的に社会保険の被扶養者異動、所得税の被扶養者の異動だけかと思います。
あとは奥様自身、もしくは奥様の属する会社が、出産育児一時金、産前産後休業、必要に応じて出産手当金、育児休業等の手続きを行うことになるかと思います。

ただし、社員の奥様が育児休業に入られた場合に、奥様の収入によっては、奥様が社員の所得税上の被扶養者になる可能性もありますので、その点は注意が必要になるかと思います（育児休業給付金や健康保険による手当金は税法上の所得に含まれません）。

お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
健康保険被扶養者（異動）届は会社保管します。
ご回答本当にありがとうございますm(__)m