契約書の印を間違えました。

民法の規定によれば、契約書の有無、印の有無とは無関係です。　ですから、まず　相互に合意があれば契約事態は有効です。　また、その契約を確認しているならば、印がどうあれ契約書の内容も有効です。

とは言え、形式として望ましくないならば、相手が納得してくれる方法ならば、かまいません。
極端な話、そのままで良いと言われれば、それまでです。
今後のこともあるので、修正しようと言われれば、再発行だろうが、お書きのような方法でもかまいません。
つまり、お互いが納得すればそれで構いません。

はんこや さん、こんにちは。

日本の商慣習では、判子は重要な意味があるとされています。
（法律上は外資社員さんの言うとおりです）

契約書の訂正なので、下記の要領で行います。
・間違えた印および署名を２重線で取り消します。
・欄外に「○○文字および捺印削除、○○文字および捺印追加」と記載します。
・上記記載の文字にも捺印します（相手にも捺印してもらいます）
・追加した署名に新たに捺印します。

これでよいですが、わかりにくくなることと、子会社の印影が見えてしまうので、作り直すことをお勧めします。
訂正前の印紙は、税務署に言うと返金してもらえるはずです。

参考まで。