勤務可能でしょうか？

本人の希望とおりその時点で労働保険、社会保険の資格喪失を行い、有給残も喪失処理をされるべきですね。

よくあるパターンですね・・・
・本人がどうしたいか
・会社がどう取り扱いたいか

ですよね。
・もし、本人が「5月末までの在籍はそのままにして、有休消化もしたい」
という希望なら・・・
　→私は実務上では、「聞かなかった事にしてあげるので、くれぐれも次の
　　会社では”社会保険は6/1取得”をお願いして下さい。重なるとややこしいから」
　　とアドバイスしています・・・。当社での退職日5/末はそのままで。

・もし、会社として「副業禁止」をシビアに要求したいなら・・・
　→当社の退職日を全て5/13に変更するが、それでもいいなら5/14から就職すれば
　　いいでしょうと言います。保険も喪失するし、有休も5/13までしか払いません。
　　本人の都合で退職日を5/13にするのだから、未消化分を会社が支払う義務は
　　ないはずです。労働の義務がない日に有休はとれないのだから。と・・

今回はオオゴトになっているとしたら、「ナイショで」は難しいかもですね。
参考にならないかも知れないですが(^^;)以上

勝田労務管理事務所様、ありがとうございます。

13日退職で話を進めることとなりました。大変ありがとうございました。

夢ママ様、ありがとうございました。

14日改めて本人と話をしました。
有給使用中である事は再就職先には内緒にし、14日から既に勤務しているとの事でした。
有給使用中である事も言いたくないし、社会保険の件も言えないとの事だったので、13日付にて退職して頂くよう話を進めました。
「13日付けで退職したいと本人からの依頼があった」と上司に私から報告し（それまで内緒にしていた）大事にならず穏便に済ませる事が出来ました。

分かりやすい説明でありがとうございました。