労災は自己申請？

申請手続きは基本的には、労働者が労災保険給付等の請求書に必要事項を記入して労働基準監督署に提出します（用紙は労働基準監督署でもらえます）。
事業主は請求書の、負傷又は発病の年月日及び時刻、災害の原因及び発生状況等の証明ををしなくてはなりません（労災保険法施行規則１２条の２第２項等）。
会社が証明を拒むことは労災隠しと受け取られても仕方ありません。
労災であることが明らかであるにもかかわらず故意に労働者死傷病報告を提出しなかったり、虚偽の内容を記載した労働者死傷病報告を労基署に提出するなどは労災隠しの典型で、処罰を含め厳正な処分がなされます（労働安全衛生法第１００条、第１２０条第５号）。

誤解されていることが多いのですが、事業主の証明は、それが労災であることを証明するものではないということです。労災であるか否かはあくまでも労働基準監督署が判断することです。

労災扱いせず病院代も自分で払うことに何のメリットもないはずですが、すでに退職を決めていて、会社との関わりが労災の件で継続してしまうかもしれないのが嫌だったのかもしれませんね。

会社が証明をしてくれない場合には、労基署に対し、会社に労災の証明をしてもらえなかった事情等を記載した文書を添えて提出すれば受理をしてもらえます。

Ａ：普通の会社では、会社が労災申請してくれますが。

Ｑ：（本人）労災扱いにしなくてよいし、病院代も自分で
払うとの事で、結局労災扱いにしないまま終る。
　労災にしない方が本人にとって何か得になる事でも？
Ａ：ありません。
Ｑ：その後すぐに退職
Ａ：何か特別の事情があるかもしれませんね？
　　労災はあとで本人が自己申請もできますが、時効に注意して
ください。

藤田行政書士総合事務所
行政書士　藤田　茂
http://www.fujita-kaishahoumu.com/

くりかえしになりますが、

労災給付申請は被災者本人が行うものですが、労災補償そのものは会社の義務です。

会社側の人間である質問者さんが一報を受けて、業務上である判断ができているのですから、本人からの…などといっていないで、詳細を掌握するように動かないといけません。でなければ、肝心の死傷病報告ができず、労災隠しとなってしまいます。