失業保険はすぐにもらえますか？

労働契約期間満了時における離職が特定受給資格者に該当するかどうかがポイントです。しかし、会社としては契約更新を希望したが、本人が退職を希望した場合は該当しません。
要するに「期間の定めがある労働契約（一年以内の労働契約に限る。）が２回以上更新され、雇用された時点から継続して３年以上雇用された場合であり、かつ、労働契約の更新を労働者が希望していたにもかかわらず、契約更新がなされなかった場合に離職した場合が該当します。」
したがって、文面から判断してすぐの受給は無理でしょう。