失業保険受給資格があるのでしょうか

受給資格が有るか無いかは、失業してる（雇用保険の資格喪失した）だけで判断されるものではありません。

会社役員ということですので、そちらで労務に関する収入が有るのであれば、失業者にはならないのではないかと思われますが、ハローワークにて求職の申し込みをすることも、就活することも出来ます。
また、御社を退職後、会社役員の方もどうなさるかがわからないのであれば、離職証明証の作成をして、ハローワークに届け出ておくことは可能です。。。

受給資格が有るから離職証明証を作成する。。。のではなく、本人の希望によりハローワークの手続きをどうするか検討されてみてはいかがでしょう。

なお、御社にて離職証明証を作成しハローワークに届け出れば、ハローワークは受給資格の有無にかかわらず離職票を発行してくれます。

個別判断になろうと思います。
例示として、会社を退職し何かの商売をするためすぐに準備に取り掛かるとします。まだ現実に商売を始めたわけではないので当然に収入はありません。開店したとしてもすぐに収入があるとは限りません。この場合、失業給付は行なわれるかと言えば給付されません。理由は「失業の状態にはない」からです。また収入はなくとも仕事をしていますから就職する意志もないと判断されるからです。

ただ特殊なケースはどの場合もありますから、個別判断もありえますのでお問い合わせになるのが一番と思います。