２事業所届け（？）について

こんにちは。
恐らくご質問の件は「複数の事業所に勤務している場合の事務手続き」に該当すると思います。

各々の事業所が社会保険適用事業所なら、各事業所で受けた報酬の合算額に基づき一つの標準報酬月額が決められます（健保法第４４条第３項）。
社会保険適用事業所でない事業所で受けた報酬は、合算する必要はありません。
つまり、ご質問の方が自営されている事業所が社会保険適用事業所で、りょうりさんのお勤め先もそうなら
「自営で得られている報酬＋りょうりさんのお勤め先から受けている報酬の合計額」
で標準報酬月額が決められるということです。
２事業所届というのは、以下のような様式ではないですか？
http://www4.sia.go.jp/sinsei/iryo/shoshiki/014.pdf

まず、現在は自営されている事業所のほうで保険料を支払っているとのことなので、選択事業所の方には、その方の自営されている事業所の内容を書いてもらってください。
そして、非選択事業所の方に、りょうりさんのお勤め先の内容を書いてください。

健康保険料・年金保険料は、按分負担（社会保険事務所からの通知に併せて、二社で共同負担する形です。負担割合は社会保険事務所が決めます。）することになります。
恐らく、その方がおっしゃっている「何割かを負担してほしい」ということは、このことを言っているのでしょう。

専門家ではないので、間違っていたらごめんなさい。
ご参考になれば幸いです。