支払調書がない確定申告

請負契約と委任契約（委託契約）の違いについて；
法的には委託契約というのは存在しません。
貴殿が言っている委託契約とは委任契約の事です。

簡単に言えば請負契約とは、仕事を完成させてその対価として報酬がもらえるということです。
メリット：完成を目的とするため、必ずしも注文された業務を自分がやる必要がない、つまりアルバイトを雇ってやらせても良い、時間配分、仕事のやり方等に対して仕事を依頼している所（会社）が口出しできない（指揮命令があってはならい）、つまり仕事を完成さえさせればどんなことをしても良いという事です。
デメリット：完成しなければ、完成するまで仕事をやらされる、つまり手直しを求められます。またその際に掛かった余分な費用・時間等に対しては、一切支払われない。又完成しなければ報酬を受ける事も出来ません。従って、クレーム等がよくつく業務だと減収になる可能性もあります。
※アドバイスとして、請負契約の場合責任の範囲を明確にしておく事をお勧めします。例えば、仕事を完成し、引渡した時点までとか、そうでないと末端の消費者からつけられたクレームにまで自分が負担しなければならなくなります。クレームの内容があまりにも理不尽な場合は、貴殿を守ってくれる法律として「下請け法」というのがあります。請負をやられる場合は勉強しておいて損はありません。

一方委任契約とは、業務を完成する過程をちゃんとやっているか、どうかで報酬が支払われます。
メリット：仕事に対しての結果は求められません。求められたとしても、完成させた業務に対しクレームが付こうがどうしょうが、あなたに責任はありません。したがって、業務をただ真面目に先方の言う通りにやっていれば、報酬をもらえます。
デメリット：自分のやりたいようにできません。仮にそうすればその部分について責任を問われます。

※注：契約書自体の内容にもよりますので、一概どちらかどうともいえませんが、一般的な見解から請負の方が責任の範囲が広く、重大です。クレーム等が９０％以上の確率で発生しないのであれば、請負でも問題ないのですが、クレームや手直しが頻繁に発生するような業務であれば、トータルの時間などでみた場合、請負は報酬が少なくなります。

>又、１月から２月までは所得税が引かれていましたが、
>その分の支払調書も振込み会社が変わったため


この辺の内容がよくわからないのですが、所得税についていえば、それが引かれていたと確認できる書類がほかにあるという事であれば、例え給与明細等でも確定申告できます。

>その場合どのような書類で代行すれば良いのでしょうか？無事に確定申告をする方法を教えてください。

請負でやると言う事は、貴殿は個人事業主になったと言う事です。従って、税務署に行き、個人事業主の開業届を出す必要があります。

長くなりすぎたので、２部にわけて続きを書きます。

税務署での開業届は、税務署へ行って聞けば書き方等を教えてくれます。行く前に自分の商店名を考えて行くことです。
余談ですが、それを出せば銀行口座を「nao商会　○○」などの名義で口座が作れます。
で、話は戻って、税務署に開業届を出せば、確定申告の書類が送られてきます。
確定申告に際しては、マニュアルが送られてくるので、それにそって書けば良いだけです。

あとは請負の場合、収入をどのように証明するかですれど、請負の流れについて簡単に説明しておきます。

会社から「注文書」で仕事の依頼が来る⇒仕事を完成させ納品したら「請求書」を作成し報酬を会社に請求する⇒報酬が貴殿の口座に振り込まれる

という一連の流れを帳簿につけるのです。帳簿といっても家計簿程度のものでかまいません。その代わり、領収書などは丁寧に月別にわけて保管しておくことです。
帳簿には報酬である、収入もつけますが、自分の経費もつけます。
経費とは；
①仕事を受注し完成させるのに掛かった費用
②家賃
③水光熱費
④自家用車のガソリン代など
⑤その他、色々とお金を使ったモノに関しては経費として計上できます。
領収書がなくても、大丈夫です。大体の金額をどこで使ったかをわかれば伝票処理というやりかたもできます。
この辺は、個人事業主に関する本を書店で買って勉強される事をお勧めします。

因みに以外と知られていないことだと思うので、補足として付け加えておきます。
①　確定申告は５年に遡って申告できます。また、間違って税金を多く収めすぎた場合は、１年以内であれば税務署に「更生の請求」が出来ます。
②　「青色申告」について、個人事業主にとっては、色々な特典の多い「青色申告」ですが、開業してから２ヶ月以内又はその年の３月１５日までに、申請をしないとその年はもうできません。自分の実態に合わせて一番良い方法を選ぶことをお勧めします。

補足：
法人・個人事業主問わず、確定申告のポイント

　収入（多）－経費（少）＝利益（多）　は×
　収入（多）－経費（多）＝利益（少）　は○

帳簿上の利益を低く抑えることが、なるべく税金を納めないコツです。
実質的に大赤字になるような事をしていれば、元も子もありませんが、ようは手元に大金を残しながらも、いかにして経費が多いように見せかけるかです。理想は赤字だけど、大金がタンス預金してあるです。

簡単にまとめると、今までは会社から貰った報酬（所得）については、会社が申告してくれていたのですが、請負（個人事業主）になれば、すべての収入（報酬・所得）に関して自己申告しなければならないということです。

とっても詳しい説明、ありがとうございました！
至急税務署に連絡してちゃんとした手続きをしていきたいと思います！ありがとうございました。