就業開始後の年休について、承認しなければならないのでしょうか

（１）当日の請求は、「事前」の請求ではなく、「事後」の請求です。
年休を認めるか認めないかは、使用者の裁量に委ねられると解され、認めないとしても違法にはなりません。
労働者の請求に対して使用者が時季変更の必要があるかどうかを判断するためには一定の時間的余裕が必要ですから、ご質問のように、当日の、しかも勤務中の場合は、対応策を講ずることが困難であるため、時季変更権の行使が正当と見られ、拒否できるケースでしょう。

（２）遅刻や早退により就労しなかった場合、その不就労時間に対する賃金請求権は発生しないわけですから、賃金を支払う義務も発生しません。
多くの会社ではこのような場合、早退扱い、半休制度があれば午後半休を認める、といった取扱をするのではないでしょうか。

余談ですが、遅刻や早退だけでなく、休日や休暇、休業、欠勤や休職、ストライキ等、不就労の形態は多岐にわたりますから、どのような場合に賃金を支払うのか、あるいは支払わないのか、控除をする場合には、控除する賃金の範囲や時間、回数の単位などを就業規則等に詳細に定めておくほうが行き当たりばったりにならずに済みます。