無期転換の説明時期について

こんにちは。

半年契約で反復更新されているとのことですが、２０１３年４月１日以降に契約更新された日は、２０１３年７月１日ということでよろしいでしょうか？
また、契約と契約の間に空白期間はありませんか？
そして、現在の契約書に「２０１８年６月３０日をもって契約満了とする（契約更新は行わない）」旨の記述はないですよね？
それで間違いなければ、
２０１３．７／１～２０１４．６／３０
２０１４．７／１～２０１５．６／３０
２０１５．７／１～２０１６．６／３０
２０１６．７／１～２０１７．６／３０
２０１７．７／１～２０１８．６／３０
で５年に通達します。
無期転換申込権は、その契約期間中に通算契約期間が５年を超えることとなる有期労働契約の契約期間の初日から、その有期労働契約の契約期間が満了する日までの間に権利行使できます。
なので、半年更新ならば、２０１８．７／１～２０１８．１２／３１の間に申し出をして、２０１９．１／１以降は無期転換ということになると思います。（※間違っていたらごめんなさい）
また、この期間を過ぎたらもう申し込みはできないのか？というとそうではなく、５年を過ぎればいつでも申し込めますので、２０１９．１／１～６／３０の間に申し込んで、２０１９．７／１から無期転換でももちろん構いません。
また、会社で特段の定め（例えば５年に達する年度の３月１５日までに申し込めば、４／１から無期転換など）をしている場合は、その定めに基づいて無期転換されることになります。
＜労働契約法第１８条（有期労働契約の期間の定めのない労働契約への転換） ＞
同一の使用者との間で締結された二以上の有期労働契約（契約期間の始期の到来前のものを除く。以下この条において同じ。）の契約期間を通算した期間（次項において「通算契約期間」という。）が五年を超える労働者が、当該使用者に対し、現に締結している有期労働契約の契約期間が満了する日までの間に、当該満了する日の翌日から労務が提供される期間の定めのない労働契約の締結の申込みをしたときは、使用者は当該申込みを承諾したものとみなす。
この場合において、当該申込みに係る期間の定めのない労働契約の内容である労働条件は、現に締結している有期労働契約の内容である労働条件（契約期間を除く。）と同一の労働条件（当該労働条件（契約期間を除く。）について別段の定めがある部分を除く。）とする。

続いて会社の説明義務ですが、これについては法に明記されておりませんので、使用者から労働者への説明義務はない、という結論になります。
個人的には、労働者が知らないから黙っていよう・・・という姿勢は信義的にどうなのか？という疑問を感じますが、無期転換を歓迎しない会社からしてみると、寝た子を起こすような真似はしたくないという思考になるのかもしれませんね。

まずは、お勤め先の総務なり人事なりに、無期転換を申し込む場合の手続きについて、確認してみてはいかがでしょうか？

ご参考になれば。

ご回答ありがとうございます。
仰せのとおり、契約を更新しないとの文言はありません。
また更新と更新の間を空けることなく、継続的に更新を続けてまいりました。
会社に説明の義務が無いとするならば、自分で会社に対して手を上げなければならないということも理解できました。
提出すべき書類ですが、ネットで様式が色々と出ていますが、提出した際の受領確認は何か取っておいた方が良いでしょうか？
また貰っておいたほうが良いならば、どのような形で頂くのが良いかご教示くださいますと幸甚でございます。
宜しくお願いします。

再び失礼します。

先の回答にも記載しました通り、まずはお勤め先に申し出の時期や方法などをご確認されることをお勧めします。

口頭よりは書面のほうが形に残りますので、書面での申出をお勧めしますが、書類の様式については、お勤め先で独自の様式を用意している可能性がありますので、記載内容についての記述は差し控えます。

ご参考になれば。