社会保険の加入義務について

かくちゃん　こんにちは

今月のことでしたら、まだ手続きが間に合います。（原則は5日以内ですが）
月の途中での種別の変更は珍しいことではありませんのでご安心を。
その月がどの年金に該当するかは月末の状態で見ます。
Xさんが11月分の国民年金保険料を支払っていれば、還付されます。
また、11月分の厚生年金保険料の納付期限は12月末日ですから今から手続きをしてもXさんの保険料は加算されます。

すみません。年金ではなく健康保険でしたね。
他の方の投稿がなければ、また書きます。

11月に常勤の代表取締役に就任したのであれば、就任日をもって健康保険と厚生年金保険に加入となります。
手続きとしては、既にある回答のとおり加入日から5日以内に資格取得届を提出しなければなりませんが、実務的には12月5日までに年金事務所へ資格取得届を提出すれば、12月末納付期限（年末年始の休業もあって実際の納付期限は1月4日）の11月保険料に反映されます。
なお、国民年金と厚生年金保険については、両方とも基礎年金番号をもとに日本年金機構が各人の加入記録と保険料納付を管理しているので、11月の国民年金保険料については既に納付済みであれば年金機構から還付請求の書類が自動的に送付されますが、健康保険については保険者が別ですので、国民健康保険の11月保険料についてはご自身で還付手続きをしない限り返還されませんから注意が必要です。