今月65才になる人を雇用したとき

①　本件の１と３は同一に考えることができます。一般に社会保険と言って居るのは、厚生年金と健康保険を一緒にしたもののことです。「現在社会保険の手続きをしてい」るとあるので、１と３は既に入る（被保険者資格取得）手続きをしておられます。制度について勘違いをされているのではないでしょうか。
②　７０歳未満の人で週の所定労働時間が３０時間以上の場合は、社会保険に入らなければなりません。７０歳になると、このうち厚生年金の資格を喪失します。しかし健康保険の資格は７５歳まであります。
④　本件については、Webキーワードに「雇用保険の適用拡大等について」と入力し、厚生労働省の色刷りA4版４枚ものを読んで下さい。そこに詳しく書いてあります。
⑤　本件を端的に言えば、６５歳以上の人も、週の労働時間が２０時間以上かつ３１日以上雇用する場合は、雇用保険高年齢被保険者となります。手続きが必要です。雇用保険料は、平成３１年度までは免除となります。
⑥　なお、「半年間のアルバイト」期間中は社会保険と雇用保険の被保険者ではなかったようですが、これは正しいことでしょうか。社内における名称は「アルバイト」であっても、法律は名称に拘りません。所定労働時間数を主として勘案します。詳細を調べたら、アルバイト期間中も雇用保険・社会保険の被保険者とすべきだったかもしれません。アルバイト期間中の労働時間等が不明なので、直ちには結論できません。検討に値します。

michioさん、回答ありがとうございます。

私も引き継いだばかりで初めてのことでしたので、
再度確認をして適切に対処したいと思います。