６０歳を超えた人が、嘱託からパートになったら？？？

こんにちは。
被用者健康保険・年金保険の加入要件は「おおむね正社員の４分の３以上の所定労働時数及び日数」となっています。
例えば、正社員の方が週４０時間・週５日勤務だとしたら、
４０時間×４分の３＝３０時間
５日×４分の３＝３．７５日
より、週３０時間以上の勤務時数・週３日以上の勤務日数というのが、おおよその目安となってくると思います。
ただ、あくまで「目安」なので、社会保険事務所へ問い合わせてください。

加入要件を満たせず、資格喪失となった場合には、健康保険は国民健康保険若しくは任意継続になります。
現在２０歳以上の被扶養者がいらっしゃる場合、国民健康保険になりますと、被扶養者の方の分も保険料が発生します。（※被用者保険と違い、国民健康保険には扶養という概念がないのです。）
年金は６０歳を超えていらっしゃるとの事なので、ご本人には加入義務はないです。
ただ、６０歳未満の配偶者の方が扶養に入っている場合には、配偶者の方は第３号被保険者として加入し続けることができなくなるため、第１号被保険者として「国民年金」に加入しなければなりません。
ご注意ください。

次に雇用保険ですが、こちらは健康保険・年金保険とは若干異なり、「１年以上継続して雇用される見込みであり、週の所定労働時数が２０時間以上」というのが加入要件になっています。
こちらも加入要件を満たせない場合は脱退となり、雇用保険被保険者を対象に支給される「高年齢雇用継続給付」は支給の対象から外れてしまいます。

細かいことがわからないので、ざっと説明しました。
間違っている箇所があったらごめんなさい。
ご参考になれば幸いです。