出張に関して

労働時間とは、労働者が使用者の指揮命令下に置かれた時間と定義されています。
必ずしも実際に労働している状態で無くても、電話当番など、手待時間も含まれますし、
例えば、取引先への移動時間も労働時間とみなされます。
（ただし、通勤時間は労働時間ではありません。）

以上を踏まえ、更にご質問のケースで、「帰路に就く」というのが、
恐らく自宅への直帰のことを指していると思われますので、
それを前提に話を進めます。

親睦会が夜にあるため、当日は宿泊、翌日帰宅、ということだと思いますが、
まず、親睦会が自由参加なのか、ということがポイントです。
実際は全員参加するのが常であったとしても、
決まり上は、親睦会は任意参加で、参加したくない人は泊まらず、
会議の後に帰宅しても構わない、というのであれば、
親睦会、それに伴う宿泊は会社からの恩恵的なものになりますから、
翌朝、自宅へ帰るだけなのであれば、その移動は労働時間ではありませんので、
その日は休日扱いでも問題無いでしょう。
（本来なら前の勤務日に帰れたのに、労働者が自分の判断で泊まり、
　休みの日に帰宅する選択をした…ということになります。）

例えるなら、金曜の夜、仕事帰りに、
（自発的な）飲み会に行って、（自分の判断で）ホテルに泊まり、
翌日、休みの土曜の朝に帰宅した…という場合と同じですね。
この場合、会社はもちろん、土曜を出勤とみなす必要はありません。

ただし、公休ということは、会社が予め指定した休日ということになりますから、
就業規則その他の規定で、予め定めておくことが必要です。
事後になって、「あれは休み扱いにしておくから」ということはできませんのでご注意下さい。

以上のような条件で、きちんと就業規則その他に規定が有り、予め休日としておけば、
その日は無給で問題ありません。

次に、親睦会も強制参加で有り、ホテルに宿泊することも強制、
帰りの新幹線などの便も全て会社が指定し、
新幹線の中でも上司とうち合わせしたり、ノートパソコンで会社にメールを出させる…
というような状況であれば、その移動時間は労働時間とみなされますので、
休日扱いにすることはできません。
ただし、その日は帰宅するだけ、ということでしたら、その時間だけを労働時間とし、
帰宅した後は半休にする、という扱いはできます。
その場合も、予め半休にする旨を定めておかなければ成りません。

御社の状況がどちらに近いかで、取るべき方法を選択して下さい。
3ヶ月以上経ってからでの回答で申し訳ありません。
ご質問の出張は終了してしまっているかと思われますが、今後、
同じようなケースが発生したときのため、ご参考になれば幸いです。
ご不明な点等ありましたら、また追加でご質問下さい。