扶養の手続きと失業保険の延長

がやがやさん、はじめまして。
その職員の配偶者の方が、妊娠・出産等のため、基本手当の受給期間を延長したいということでしょうか？
でしたら、それは配偶者の方ご自身が住所地を管轄する職安にて受給期間延長の手続きをすれば良く、会社側に特に手続きは必要はありません。
本来、会社の事務ではないのですから、もしも手続き方法がわからなければ、ご自身で職安に問い合わせてみて下さいと返答しておけばいいと思いますよ。

被扶養者認定申請の時に雇用保険の放棄を宣誓されていませんか？
それを取り消し、受給したときには扶養からはずれる旨の宣誓書が必要では？
健康保険組合によって必要な書類が違うと思うので、宣誓についてはされていないかも
しれませんが、かやがやさんがするのは被扶養者の認定条件を満たしているかどうか
の確認です。
雇用保険の延長をされるのであれば、雇用保険を受給することになった時、一定額を
超えると扶養からはずれます。受給することになったら申し出てもらうようにお伝えに
なっておいた方がよいでしょう。そして被扶養者取消申請をします。
被扶養者から外れている期間は国保・年金第1号の手続きも必要です。受給が終われば
再度被扶養者認定ができます。雇用保険受給終了証明を添付すると思います。
もし、雇用保険の金額が低く、一定額以下であれば被扶養のままで国保等の手続きは不要です。


ご本人さんは離職票の発行を事業所にしてもらわないといけません。
雇用保険を放棄している場合、雇用保険の資格喪失報告しかしていないのではないで
しょうか？離職票を受取り、ハローワークで受給延長の手続きをしていただきます。
kakoさんの仰るとおりこちらはご本人さんの手続きなので、かやがやさんが行うことは
ありません。　実際の細かいところがありますので、本人手続きが確実です。

すでに扶養手続きを取っているとのことでしたので、私は、基本手当の日額が扶養認定の範囲内（3,611円以下）、あるいは給付制限期間中のみ扶養に入り、受給を開始した時点で一度扶養削除の手続きを取るものと解釈しておりました。
そこで、そのいずれにせよ、配偶者の方が基本手当の受給延長手続きを取るのであれば、少なくとも現時点で、がやがやさんの会社の手続きはない、と判断したわけです。

雇用保険の放棄？の宣誓ですか。
そういう組合もあるのですね。初めて知りました＾＾

ちょっとゴチャゴチャしてしまいましたので、ここでいったん整理しましょう。

・扶養に入れる段階では合わせて第3号への種別変更手続きを行いますが（がやがやさんの会社の事務ですね）、削除のときは、がやがやさんの会社が行うのは健康保険の方のみで、年金の方はご本人が市区町村役場で国保の手続きと合わせて第1号への種別変更手続きを行うのが普通です。ですので、これはがやがやさんの会社の事務ではありません。
・仮に離職票の交付を要しない雇用保険喪失手続きを取ったのであれば、離職票の発行は必要ですが、これも配偶者の方と、その方が以前お勤めになっていた会社との関係のお話で、がやがやさんの会社とは関係がありませんね。
ただ、基本手当の受給を延長したいとおっしゃっているのでしたら、たぶん喪失時点で離職票は発行されているのでは？

ありゃ、余計ごちゃごちゃになっちゃったかな？＾＾；